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En el estudio del cálculo diferencial, una de las herramientas más utilizadas es la tabla de derivadas, siendo un recurso que concentra en un solo lugar las fórmulas fundamentales que permiten calcular derivadas de manera rápida y eficiente, sin necesidad de repetir cada vez el proceso formal desde la definición.
Así pues, los estudiantes y profesionales pueden ahorrar tiempo al resolver ejercicios, enfocándose en la aplicación de reglas y la interpretación de resultados más que en los cálculos repetitivos.
Las tablas de derivadas inmediatas deben ser dominadas por el estudiante al iniciar el estudio de las funciones derivables.
Estas se llaman de ese modo debido a que, no requieren aplicar procedimientos largos ni fórmulas complejas, sino que, se obtienen directamente de definiciones ya establecidas.
Estas reglas incluyen, por ejemplo, la derivada de una constante, de la función potencia, de la función exponencial, del logaritmo y de las funciones trigonométricas más comunes. Aprenderlas y memorizarlas es esencial, ya que se convierten en la base para resolver derivadas más avanzadas mediante técnicas como la regla del producto, el cociente o la cadena.
La derivada de la variable independiente respecto de sí misma es 1: ddxx=1. La pendiente de la recta identidad es constante e igual a 1.
Si f(x)=ax+b (a,b constantes), entonces f′(x)=a. Ejemplo: si f(x)=3x−5, entonces f′(x)=3.
Reescribe la raíz como potencia fraccionaria y aplica la potencia: ddx [u(x)]1/n=1n[u(x)]1n−1 u′(x), con nN y u(x)>0. Ejemplo: ddx (2x+1)1/3=13(2x+1)−2/32.
Caso particular anterior: ddx u=u′2 u. En particular, ddx x=12x, para x>0.
Para xn con n real: ddx xn=n xn−1. En compuesta: ddx [u(x)]n=n [u(x)]n−1u′(x).
Si h(x)=u(x) v(x), entonces h′(x)=u′(x) v(x)+u(x) v′(x). Ejemplo: ddx[x sinx]=sinx+xcosx.
Para c constante real: ddx [c f(x)]=c f′(x). Ejemplo: ddx[7 lnx]=7x.
Para c constante y f(x)0: ddx cf(x)=−c f′(x)[f(x)]2. Es un caso de la regla del cociente.
Si h(x)=u(x)v(x) y v(x)0, entonces h′(x)=u′(x) v(x)−u(x) v′(x)[v(x)]2. Ejemplo: ddx x2x−1=2x(x−1)−x2(x−1)2=x(x−2)(x−1)2.
Las funciones exponenciales y logarítmicas se derivan con reglas específicas y, si procede, con la regla de la cadena.
Cuando tengas dudas operativas, vuelve a la tabla de derivadas y comprueba el dominio de cada expresión.
Para base a>0 y a1: ddx ax=ax lna. En compuesta: ddx au(x)=au(x) lnau′(x). Ejemplo: ddx 32x=32x ln32.
ddx ex=ex. En general, ddx eu(x)=eu(x) u′(x).
ddx lnx=1x, con x>0. En compuesta: ddx lnu(x)=u′(x)u(x). Ejemplo: ddx ln(5x2)=10x5x2=2x.
Las tablas de derivadas trigonométricas son aquellas que se aplican a las funciones trigonométricas como coseno, seno, tangente y sus inversas. Estas son fundamentales en el cálculo porque permiten analizar el comportamiento de fenómenos periódicos y ondulatorios presentes en la física, la ingeniería y otras ciencias aplicadas.
Asimismo, aprenderlas es clave para resolver problemas relacionados con oscilaciones, movimientos circulares y señales, puesto que, constituyen una extensión natural de las reglas básicas de derivación y se combinan con técnicas como la regla de la cadena o del producto.
ddx cosx=−sinx. En compuesta: ddx cosu=−sin(u) u′. Ejemplo: ddx cos(2x)=−sin(2x)2.
ddx sinx=cosx. En compuesta: ddx sinu=cos(u) u′. Ejemplo: ddx sin(x2)=cos(x2)2x.
ddx tanx=sec2x. En compuesta: ddx tanu=sec2(u) u′.
ddx cotx=−csc2x. En compuesta: ddx cotu=−csc2(u) u′.
ddx secx=secx tanx. En compuesta: ddx secu=sec(u) tan(u) u′.
ddx cscx=−cscx cotx. En compuesta: ddx cscu=−csc(u) cot(u) u′.
Las tablas de derivadas de las funciones trigonométricas inversas permiten calcular la pendiente de curvas que involucran expresiones como arcoseno, arcocoseno o arcotangente, entre otras.
Estas fórmulas son esenciales porque amplían el campo de aplicación del cálculo, ofreciendo herramientas para resolver integrales, modelar fenómenos geométricos y analizar relaciones entre ángulos y longitudes.
De tal forma, dominar estas derivadas es clave para estudiantes de matemáticas, ingeniería y física, ya que, aparecen con frecuencia en ejercicios avanzados y en problemas donde las funciones trigonométricas directas no bastan para describir la situación.
ddx arcsinx=11−x2, con |x|<1. En compuesta: ddx arcsinu=u′1−u2.
ddx arccosx=−11−x2, con |x|<1. En compuesta: ddx arccosu=−u′1−u2.
ddx arctanx=11+x2, para todo xR. En compuesta: ddx arctanu=u′1+u2.
ddx arccot x=−11+x2. En compuesta: ddx arccot u=−u′1+u2.
Para |x|>1: ddx arcsec x=1|x| x2−1. En compuesta: ddx arcsec u=u′|u| u2−1, en el dominio correspondiente.
Para |x|>1: ddx arccsc x=−1|x| x2−1. En compuesta: ddx arccsc u=−u′|u| u2−1.
Para f(x)=xx (función "potencial–exponencial"), usa derivación logarítmica: si y=xx, entonces lny=xlnx. Al derivar: y′y=1+lnx y, por tanto, ddx xx=xx(1+lnx), con x>0.
Si h(x)=g(f(x)), entonces h′(x)=g′(f(x))f′(x). Identifica primero la función exterior (g) y la interior (f). Encadena con producto y cociente cuando aparezcan simultáneamente en la expresión.
Si una curva viene dada por F(x,y)=0 y Fy0, entonces dydx=−FxFy. Desarrollo con ejemplos clásicos (como x2+y2=1).
Dominar una tabla de derivadas te ayuda a reconocer patrones y derivar con rapidez, evitando errores en exámenes y en problemas reales, de forma que, antes de resolver, clasifica la función, ya sea potencia, logaritmo, trigonométrica, inversa o compuesta y aplica la regla adecuada.
Asimismo, cuando la expresión es compleja, combina producto, cociente y cadena, mientras que, si no puedes despejar y, recurre a derivación implícita.
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Cristina Polo Calvo
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